Expondentialfunktionen und der natürliche Logarithmus

Expondentialfunktionen sind Funktionen wo die Variable im Exponenten steht.

Zum Beispiel:

2^x = y

Diese Funktion verdoppelt jeweils ihren Wert wenn die Varibale um eins zunimmt. Dadurch kommt ein rasantes Wachstum zu Stande. Im Alltag werden solche Funktionen zum Beispiel zum Berechnen von Zinses-Zinsen benutzt.

Angenommen jemand hätte vor 50 Jahren 1 cent (damals gab es zwar noch Pfennig, aber das ist für das Beispiel unwichtig ) zur Bank gebracht und würde darauf 5% Zinsen bekommen. Dann würde der Betrag jedes Jahr um 1,05 zunehmen.
Also 1,05^50. Das wären nach 50 Jahren etwa 12 cent. Nach 250 Jahren wärend es fast 2000 Euro und nach 300 Jahren sogar schon fast 23 000 Euro.

Und es gibt eine Expondentialfunktion mit dem stärksten Wachstum das ist die Zahl e. e ist eine lange Kommazahl ähnlich wie π, um die Schreibweise zu vereinfachen hat man für die “eulsche Zahl” den Buchstaben e eingeführt.

Rechenregeln für Exponenten

1. aⁿ * a^m = a^n+m
2. aⁿ / a^m = a^n-m
3. (aⁿ)^m = a^n*m

Umkehrfunktion zur Expondentialfunktion

Die Umkehrfunktion erhält man indem man die Variablen vertauscht und dann nach X auflöst also:

x = 10^y

Das entspricht dem Logarithmus. x = 10^y ist log₁₀(x) = y

Die Fragestellung beim Logarithmus ist also: 10 hoch wieviel ist x ? Die nach unten gesetzte Zahl gibt an, zu welcher Basis der Logarithmus gebildet wird. Für die E-Funktion ist nur der sogenannte natürliche Logarithmus von Bedeutung. Also der Logarithmus zur Basis e. Im Taschenrechner liegt er auf der Taste ln.

Rechenregeln für Logarithmen

1. ln(x*y) = ln(x) + ln(y)
2. ln(x/y) = ln(x) – ln(y)
3. ln(x^y) = y * ln(x)

Ableitungen von Expondentialfunktionen:

Die e-Funktion ist besonders leicht abzuleiten. Da ihre Funktionswerte zugleich ihrer Steigung entsprechen daher gilt:

f(x) = e^x

f’(x) = e^x

f”(x) = e^x

Ableitungen des natürlichen Logarithmus:

f(x) = ln(x)

f’(x) ) 1/x

Beispiele:

f(x) = e^x – 2

f’(x) = e^x

weil: e^x abgeleitet e^x ergibt und das “-2″ beim ableiten wegfällt. Daher ist die zweite Ableitung auch f”(x) = e^x

f(x) = 2*ln(x)

f’(x) = 2*1/x

weil: Der Faktor mit dem ln(x) multipliziert wird nicht wegfällt. Nur wenn da + oder – gestanden hätte, wäre 2 weggefallen. Und ln(x) wird ganze einfach als 1/x abgeleitet

f(x) = 2x + e^x

f’(x) = 2+e^x

f”(x) = e^x

dürfte klar sein, oder?